Vom Schnittpunkt zur Bruchgleichung

Anhand einer Skizze lässt sich oft schon erkennen, ob die Graphen zweier gebrochen-rationaler Funktionen einen oder mehrere Schnittpunkte haben. Im Allgemeinen können die Koordinaten der Schnittpunkte nur nährungsweise abgelesen werden. Eine genaue Bestimmung der Schnittpunktkoordinaten ist mit Hilfe eines Funktionsplotters oder algebraisch möglich.

Das Berechnen des Schnittpunktes bzw. der Schnittpunkte der Graphen zweier gebrochen-rationaler Funktionen erfordert das Lösen einer Bruchgleichung,also einer Gleichung, bei der die Variable im Nenner vorkommt. Auch das Berechnen der x-Koordinate besonderer Punkte des Graphen einer gebrochen-rationaler Funktion führt auf zu lösende Bruchgleichungen. Insbesondere gilt das für das Berechnen von Nullstellen (soweit vorhanden).

Um Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funkton f zu berechnen, muss wie schon bei linearen Funktionen die Gleichung f(x)=0 gelöst werden.

1. Definitionsmenge bestimmen: Überlege welche Zahlen nicht zur Definitionsmenge gehören dürfen, damit kein Nenner in der Bruchgleichung Null werden kann.
2. Eine zur Bruchgleichung äquivalente Gleichung suchen, die die Variable nicht mehr im Nenner enthält. Eine Möglichkeit dafür ist immer, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren . Im Falle einer Bruchgleichung des Typs <m>Z_1/N_1 = Z_2/N_2</m> entspricht dies dem Über-Kreuz-Multiplizieren: <m>Z_1 * N_2 = N_1 * Z_2</m> .Manchmal ist es zweckmäßig, kompliziertere Bruchgleichungen erst in die Form <m>Z_1/N_1 = Z_2/N_2</m> zu bringen, um dann über Kreuz multiplizieren zu können.
3. Lösen der entstandenen Gleichung
4. Prüfen, ob die Lösungen der Gleichung zur Definitionsmenge gehören, und Probe anhand der Ausgansgleichung durchführen

Die Schnittpunkte der Graphen zu <m>f(x)=1/{x-2}-1/2</m> und <m>g(x)=-1/{x+1}</m> sind gesucht. Überglick mittels einer Skizze:

An den Schnittpunkten ist f(x) = g(x). <m>1/{x-2} - 1/2 = -1/{x+1}</m> <m>D = bbQ backslash lbrace -1;2 rbrace</m>

• Variante 1 : mit Hauptnenner multiplizieren (oder Gleichung auf HN brin

gen )

<m>{2(x-2)(x+1)}/{x-2} - {2(x-2)(x+1)}/2 = {-2(x-2)(x+1)}/{x+1}</m>

<m>2(x+1) - (x-2)(x+1) = -2(x-2)</m>

<m>2x+2-x²+x+2=-2x+4</m>

<m>5x-x²=0</m>

• Variante 2: so umformen, dass Über-Kreuz-Multiplizieren möglich wird:

<m>{2-(x-2)}/{2(x-2)} = -1/{x+1}</m>

<m>{4-x}/{2(x-2)} = -1/{x+1}</m>

<m>(4-x)(x+1) = -2(x-2)</m>

<m>3x-x²+4 = -2x+4</m>

<m>5x-x²=0</m>

Lösen der Gleichung: <m>x(5-x)=0</m> also <m>x=0</m> oder <m>5-x=0</m>

<m>x=0</m> und <m>x=5</m> (<m>0 ∈ D</m> und <m>5 ∈ D</m> )

Probe: <m>x=0</m>: linke Seite :<m>1/{0-2}-1/2=-1</m> rechte Seite :<m>-1/{0+1}=-1</m>

<m>x=5</m>: linke Seite :<m>1/{5-2}-1/2=-1/6</m> rechte Seite :<m>-1/{5+1}=1/-6</m>

Die Schnittpunkte sind demnach <m>S_1(0|-1)</m> und <m>S_2(5|-1/6)</m>.

©Claudia Bohrer & Jana Herbert